2.1 Perambatan galat
2.1.1 Definisi Galat
Dalam statistika dan matematika stokastik, galat (bahasa
Inggris: error) adalah sumber variasi data yang tidak dapat
dimasukkan ke dalam model.
Dalam literatur statistika, galat dikenal pula sebagai sesatan, pengotor, sisa, residu, atau noise.
Galat dapat disebut juga error atau dalam keseharian dapat
disebut sebagai kesalahan, kesalahan yang dimaksud disini adalah kesalahan
dalam proses pengambilan data. Menurut buku karangan Suntoyo Yitnosumarto, 1993,
galat adalah keanekaragaman
(variabilitas) yang disebabkan oleh ketidakmampuan materi percobaan atau obyek
percobaan untuk berperilaku sama dalam percobaan tersebut.
Galat atau error dapat pula didefinisikan sebagai selisih dari nilai atau hasil yang kita
harapkan terjadi (expected value) dengan observasi atau kenyataan yang terjadi
di lapangan. Galat dapat berfungsi untuk menunjukkan efisiensi dari satu jenis percobaan atau penelitian ke
penelitan yang lain. Secara normal kita menginginkan galat yang
bernilai kecil bahkan tidak terjadi galat. namun ketiadaan galat juga dapat
menyebabkan pertanyaan dalam penelitian kita. Terpenting dari galat ini adalah
galat harus terjadi secara alami sehingga dapat menggambarkan obyek penelitian
yang sesungguhnya. Cara yang paling efektif untuk menimbulkan kealamian galat
adalah dengan menghomogenkan perlakuan terhadap obyek (Anonim A, 2008).
Pada suatu model data sederhana, masing-masing nilai
pengamatan (pengamatan) dapat dipilah menjadi rerata (mean) dan simpangannya (deviation).
Di sini, galat sama dengan simpangan. Galat yang demikian ini disebut sebagai
galat pengamatan.
Dalam pengambilan contoh (sampel) data dari
suatu populasi,
galat diukur dari penyimpangan nilai rerata contoh dari rerata populasi. Galat
ini dikenal sebagai galat pengambilan
contoh (sampling error) atau galat contoh saja (Wikipedia, 2017).
Jenis galat secara teoretis ada dua jenis, yaitu galat sistematis dan galat acak (random error).
Galat sistematis adalah galat yang
disebabkan oleh pengaruh pengukuran yang bias, yang terjadi secara teratur atau
konstan. Misalkan pada alat ukur, alat hitung, alat timbang, dan lain
sebagainya. Intinya galat ditimbulkan dari alat dan proses yang berlangsung
secara konstan. Galat acak (random error)
adalah galat yang timbul dari proses
pengukuran namun terjadinya tidak konstan atau tidak sistematis. Terkadang
terjadi karena proses yang berada diluar jangkauan kita sebagai peneliti
(Anonim A, 2008)
2.1.2 Analisis Galat
Menganalisis galat sangat penting di
dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan
seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil
galatnya, semaki teliti solusi numeric yang didapatkan. Kita harus memamahami
dua hal:
a)
Bagaimana
menghitung galat?
b)
Bagaimana
galat timbul?
Misalkan â adalah nilai
hampiran terhadap nilai sejati a,
maka selisih
ε = a – â
(P. 2.1)
disebut galat. Sebagai contoh, jika â
= 10.5 adalah nilai hampiran dari a = 10.45, maka galatnya adalah ε = -0.01. Jika tanda galat (positif atau
negatif) tidak dipertimbangkan, maka galat mutlak dapat didefinisikan sebagai :
|ε| =| a – â| (P. 2.2)
Sayangnya, ukuran galat ε
urang bermaka sebab ia tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan
dengan nilai sejatinya. Sebagai contoh, seorang anak melaporkan panjang kawat
99 cm, padahal panjang sebenarnya 100 cm. galatnya adalah 100 – 99 = 1 cm. Anak
yang lain melaporan panjang sebatang pensil 9 cm, padahal panjang sebenarnya 10
cm, sehingga galatnya juga 1 cm. Kedua galat penguruan sama-sama bernilai 1 cm,
namun galat 1 cm pada pengukuran panjang pensil lebih berarti daripada galat 1
cm pada pengukuran panjang kawat. Jika tidak ada informasi mengenai panjang
sesungguhnya, kita mungkin menganggap kedua galat tersebut sama saja. Untuk
mengatasi interpretasi nilai galat ini, maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa
yang dinamakan galat relatif.
Galat
relatif didefinisikan sebagai
(P.2.3)
atau
dalam persentase
(P.2.4)
Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat
relatif tersebut dinamakan juga galat relatif sejati. Dengan demikian,
pengukuran panjang kawat mempunyai galat relatif sejati = 1/100 = 0.01, sedangkan
pengukuran panjang pensil mempunyai galat relatif sejati = 1/10 = 0.1.
Dalam praktek kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu galat ε
seringkali dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya
dinamakan galat relatif hampiran:
(P.2.5)
Contoh 1.
Misalkan
nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. Hitunglah galat, galat mutlak,
galat relatif, dan galat relatif hampiran.
Penyelesaian:
galat = 10/3 – 3.333 =
10/3 – 3333/1000 = 1/3000 = 0.000333…
galat mutlak = |
0.000333…| = 0.000333…
galat relatif =
(1/3000)/(10/3) = 1/1000 = 0.0001
galat relatif
hampiran = (1/3000)/3.333 = 1/9999
Galat
relatif hampiran yang dihitung dengan
persamaan (P.2.5) masih mengandung kelemahan sebab nilai ε tetap membutuhkan pengetahuan
nilai a (dalam praktek kita jarang sekali mengetahui nilai sejati a). Oleh karena itu, perhitungan galat
relatif hampiran menggunakan pendekatan
lain. Pada perhitungan numerik yang menggunakan
pendekatan lelaran (iteration), εRA dihitung dengan cara
(P.2.6)
yang
dalam hal ini ar+1 adalah nilai hampiran
lelaran sekarang dan ar adalah
nilai hampiran lelaran sebelumnya. Proses lelaran dihentikan bila
|εRA|<εs
yang dalam hal ini εS adalah toleransi galat yang dispesifikasikan. Nilai εS menentukan ketelitian solusi numerik. Semakin kecil nilai εS, semakin
teliti solusinya, namun semakin banyak
proses lelarannya. Contoh
2 mengilustrasikan hal ini.
Contoh 2.
Misalkan
ada prosedur lelaran sebagai berikut
xr+1 = (-xr3+3)/6 , r = 0, 1, 2, 3, ... .
Lelaran
dihentikan bila kondisi |εRA|<εs
dalam hal ini εS adalah
toleransi galat yang diinginkan. Misalkan dengan memberikan x0 =
0.5, dan εS =
0.00001 kita memperoleh runtunan:
x0 = 0.5
x1 = 0.4791667 ;|
εRA = (x1 –
x0)/x1| = 0.043478 > εS
x2 = 0.4816638 ;
|εRA = (x2 – x1)/x2| = 0.0051843
> εS
x3 = 0.4813757 ;
|εRA = (x3 –
x2)/x3| = 0.0005984
> εS
x4 = 0.4814091 ;
|εRA = (x4 –
x3)/x4| = 0.0000693 > εS
x5 = 0.4814052. ; |εRA =
(x5 – x4)/x5| = 0.0000081 < εS ,
berhenti!
Pada lelaran ke-5, |εRA|<εs
sudah terpenuhi sehingga lelaran dapat
dihentikan.
2.1.3
Sumber Utama galat Numerik
Secara
umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik:
1.
Galat
pemotongan (truncation error)
2.
Galat
pembulatan (round-off error)
Selain
kedua galat ini, masih ada sumber galat lain, antara lain [KRE88]:
a.
Galat
eksperimental, yaitu galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya
karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur, dan sebagainya
b.
Galat
pemrograman. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan kutu
(bug), dan proses penghilangan galat
ini dinamakan penirkutuan (debugging)
Kita
tidak akan membicarakan kedua galat terakhir ini karena kontribusinya terhadap
galat keseluruhan tidak selalu ada. Akan halnya galat utama, galat pemotongan
dan galat pembulatan, keduanya selalu muncul pada solusi numerik. Terhadap
kedua galat inilah perhatian kita fokuskan.
2.1.3.1 Galat Pemotongan
Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan
akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi
matematik yang lebih kompleks “diganti” dengan formula yang lebih sederhana.
Tipe galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yang digunakan untuk
penghampiran sehingga kadang-kadaang ia disebut juga galat metode. Misalnya, turunan pertama fungsi f di xi dihampiri dengan formula
yang
dalam hal ini h adalah lebar absis xi+1 dengan xi. Galat
yang ditimbulkan dari penghampiran turunan
tersebut merupakan galat
pemotongan.
Istilah
“pemotongan” muncul karena banyak metode numerik yang diperoleh dengan
penghampiran fungsi menggunakan deret Taylor. Karena deret Taylor merupakan
deret yang tak-berhingga, maka untuk penghampiran tersebut deret Taylor kita
hentikan/potong sampai suku orde tertentu saja. Penghentian suatu deret atau
runtunan langkah-langkah komputasi yang tidak berhingga menjadi runtunan
langkah yang berhingga itulah yang menimbulkan galat pemotongan.
Contohnya,
hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan
deret Taylor di sekitar x = 0:
Deret
Taylor fungsi cos(x) sebenarnya tidak
berhingga, namun untuk keperluan praktis, deret tersebut kita potong sampai
suku orde tertentu, misalnya sampai suku orde n = 6 seperti pada contoh di atas. Kita melihat bahwa menghampiri
cos(x) dengan deret Taylor sampai
suku berderajat enam tidak memberikan hasil yang tepat. Galat pada nilai
hampiran diakibatkan oleh pemotongan suku-suku deret. Jumlah suku-suku
selanjutnya setelah pemotongan merupakan galat pemtongan untuk cos (x). Kita tidak dapat menghitung berapa
persisnya galat pemtongan ini karena
jumlah seluruh suku-suku
setelah pemotongan tidak mungkin
dapat dihitung. Namun, kita dapat menghampiri galat pemotongan ini dengan rumus
suku sisa:
Pada contoh cos(x) di atas,
Nilai
Rn yang tepat hampir tidak pernah
dapat kita peroleh, karena kita tidak mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada suatu selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah
mencari nilai maksimum yang mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yang diberikan itu
[PUR84], yaitu:
Contoh
komputasi lain yang menghasilkan galat pemotongan adalah perhitungan dengan
menggunakan skema lelaran (lihat Contoh 2.5). Sayangnya, tidak seperti deret
Taylor, galat pemotongan pada perhitungan dengan skema lelaran tidak ada
rumusnya.
Galat
pemotongan pada deret Taylor dapat dikurangi dengan meningkatkan orde
suku-sukunya, namun jumlah komputasinya menjadi lebih banyak. Pada metode yang
menerapkan skema lelaran, galat pemotongan dapat dikurangi dengan memperbanyak
lelaran. Hal ini ditunjukkan pada Contoh 3 dengan memberikan nilai εS yang sekecil mungkin.
Contoh 3.
Tentukan turunan fungsi
f(x)
= ln(x) terlebih dahulu
Deret Taylornya adalah
dan
juga
dan nilai Max |24/c5|
di dalam selang 0.9 < c <
1 adalah pada c =
0.9 (dengan mendasari pada fakta bahwa suatu pecahan
nilainya semakin membesar bilamana penyebut dibuat lebih kecil), sehingga
Jadi ln (0.9) = -0.1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari
0.0000034
2.1.3.2 Galat Pembulatan
Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu
menggunakan bilangan riil. Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan
oleh mesin (dalam hal ini komputer)
karena semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalam
komputer. Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yang disebut galat pembulatan. Sebagai contoh 1/6 =
0.166666666… tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer karena digit 6
panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah
digit (atau bit dalam sistem biner)
saja. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat
direpresentasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat.
Misalnya sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan
bilangan riil dalam 6 digit angka berarti,
maka representasi bilangan 1/6 =
0.1666666666… di dalam
komputer 6-digit tersebut adalah
0.166667. Galat pembulatannya
adalah 1/6 – 0.166667 =
-0.000000333. Contoh dalam sistem biner misalnya 1/10 = 0.000110011001100110011
00110011…2 direpresentasikan di dalam komputer
dalam jumlah bit yang terbatas.
2.1.3.3 Galat Total
Galat akhir atau galat total atau pada solusi numerik
merupakan jumlah galat pemotongan
dan galat pembulatan. Misalnya pada Contoh 2.3 kita menggunakan deret Maclaurin
orde-4 untuk menghampiri cos(0.2) sebagai berikut:
Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos (0.2)
sampai suku orde empat, sedangkan galat pembulatan timbul karena kita
membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.
2.1.4
Perambatan Galat
Galat yang dikandung dalam bilangan titik-kambang merambat pada hasil komputasi.
Misalkan terdapat dua bilangan a dan b (nilai sejati) dan nilai hampirannya
masing-masing aˆ dan bˆ, yang
mengandung galat masing-masing εa dan εb. Jadi, kita dapat menulis
a = aˆ + εa
dan
b = b + εb.
Di
bawah ini akan diperlihatkan bagaimana galat merambat pada hasil penjumlahan
dan perkalian a dan b.
Untuk
penjumlahan,
a +
b = ( aˆ + εa) + ( bˆ +εb) =
( aˆ + bˆ ) + (εa + εb) (P.2.7)
Jadi, galat hasil penjumlahan sama dengan jumlah galat masing-masing operand.
Untuk perkalian,
ab = ( aˆ+ εa)(
bˆ+εb) = aˆ bˆ + aˆεb + bˆεa +
εa εb
yang bila kita
susun menjadi
ab - aˆbˆ =
aˆεb + bˆεa +εaεb
Dengan
mengandaikan bahwa a ≠ 0 dan b ≠ 0, maka galat relatifnya adalah
Dengan
mengandaikan bahwa a dan aˆ hampir sama
besar, yaitu a ≈ aˆ , begitu juga b dan bˆ, dan εa dan εb sangat kecil maka aˆ /a
≈1, bˆ /b
≈ 1, dan (εa/a)(εb/b)≈0. Dengan demikian
(P.2.8)
Jadi, galat relatif hasil perkalian sama dengan
jumlah galat relatif masing-masing operand.
Jika operasi aritmetika hanya dilakukan sekali saja, maka
kita tidak perlu terlalu khawatir terhadap galat yang ditimbulkannya. Namun,
bila operasi dilakukan terhadap seruntunan komputasi, maka galat
operasi aritmetika awal
akan merambat dalam
seruntunan komputasi. Bila hasil perhitungan sebuah operasi aritmetika dipakai
untuk operasi selanjutnya, maka akan terjadi penumpukan galat yang semakin
besar, yang mungkin mengakibatkan hasil perhitungan akhir menyimpang dari hasil
sebenarnya. Ketidakpastian hasil akibat galat pembulatan yang bertambah besar itu
dapat menyebabkan perhitungan menjadi tidak stabil (unstable atau instability), sedangkan lawannya adalah stabil,
yang merupakan proses numerik yang diinginkan. Metode komputasi dikatakan
stabil jika galat pada hasil antara (intermediate)
hanya sedikit pengaruhnya pada hasil akhir. Jika galat pada hasil antara
memberikan pengaruh yang besar pada hasil akhir maka metode komputasinya
dikatakan tidak stabil [KRE88] (Munir, 2015: 49-50)
Sumber
:
Munir
Rinaldi. 2015. Metode Numerik.
Bandung : Informatika
